Inferential Statistics

The Taste Tester & the Election PollsterTaste Tester और Election Pollster尝味师与选举民调员

A cook is preparing a 50-litre pot of dal for a wedding feast of 500 guests. Does she pour out every drop to check the salt? Of course not. She stirs the pot well, takes one ladle — maybe 100 ml — tastes it, adjusts the seasoning, and confidently serves the whole pot.

एक रसोइया शादी की दावत के 500 मेहमानों के लिए 50 लीटर दाल बना रही है। क्या वह नमक जाँचने के लिए हर बूँद निकालती है? बिल्कुल नहीं। वह बर्तन को अच्छी तरह चलाती है, एक कलछा — शायद 100 ml — लेती है, चखती है, मसाला ठीक करती है, और पूरे भरोसे से पूरी दाल परोस देती है।

一位厨师正在为 500 位婚宴宾客准备 50 升豆汤（dal）。她会把每一滴都倒出来尝咸淡吗？当然不会。她先把锅搅匀，舀一勺 —— 大约 100 ml —— 尝一尝，调好味，然后放心地端出整锅。

One ladle, 500 guests. That is inferential statistics in its simplest form — and the stirring matters. Without it, the ladle could taste only the salty top layer.

एक कलछा, 500 मेहमान। यही अपने सबसे आसान रूप में inferential statistics है — और चलाना ज़रूरी है। उसके बिना कलछा सिर्फ़ ऊपर की नमकीन परत चख सकता है।

一勺，五百位宾客。这就是最朴素的推断统计 —— 而且搅匀很关键。不搅匀，那一勺可能只尝到最上面那层咸汤。

Every day, decisions worth crores — drug approvals, crop forecasts, quality checks, credit-risk models — are made not by measuring everyone and everything, but by measuring a few carefully and reasoning about the rest. That is the job of inferential statistics.

हर दिन करोड़ों के फ़ैसले — दवाओं की मंज़ूरी, फ़सल का अनुमान, quality checks, credit-risk models — सबको मापकर नहीं, बल्कि कुछ को ध्यान से मापकर और बाक़ी के बारे में तर्क करके लिए जाते हैं। यही inferential statistics का काम है।

每天，价值巨大的决策 —— 药品审批、作物预测、质量检查、信用风险模型 —— 都不是靠测量所有人和所有东西做出的，而是靠认真测量一小部分，再推断其余。这就是推断统计的任务。

What Is Inferential Statistics?Inferential Statistics क्या है?什么是推断统计？

Statistics has two broad branches. Descriptive statistics summarises the data you already have — means, medians, charts. Inferential statistics goes further: it uses a sample to draw conclusions — inferences — about a larger population you could not fully measure, and it tells you how uncertain those conclusions are.

Statistics की दो बड़ी शाखाएँ हैं। Descriptive statistics आपके पास मौजूद data का सार देता है — means, medians, charts. Inferential statistics आगे जाता है: यह sample से उस बड़ी population के बारे में निष्कर्ष — inferences — निकालता है जिसे आप पूरा नहीं माप सकते, और बताता है कि वे निष्कर्ष कितने अनिश्चित हैं।

统计学有两大分支。描述统计概括你已有的数据 —— 均值、中位数、图表。推断统计更进一步：用样本对无法全部测量的更大总体得出结论（推断），并告诉你这些结论有多不确定。

Inference in Pictures — Understand Before the Mathsतस्वीरों में Inference — गणित से पहले समझें图解推断 — 先理解，再算数

Population vs SamplePopulation vs Sample总体 vs 样本

Before you can infer anything, be clear about what you measured (the sample) and what you want to talk about (the population).

कुछ भी infer करने से पहले साफ़ रहें कि आपने क्या मापा (sample) और आप किसके बारे में बात करना चाहते हैं (population)।

在做任何推断之前，先弄清你测量的是什么（样本），想讨论的是什么（总体）。

Sampling Techniques — How to Pick a SampleSampling Techniques — Sample कैसे चुनें抽样方法 — 如何选样本

Choosing who goes into your sample is one of the most important decisions in any study. The wrong method creates sampling bias — a systematic error that no amount of clever statistics can fix later.

Sample में कौन आएगा, यह किसी भी study के सबसे ज़रूरी फ़ैसलों में से एक है। ग़लत तरीका sampling bias बनाता है — एक व्यवस्थित ग़लती जिसे बाद में कोई होशियार statistics ठीक नहीं कर सकती।

决定谁进入样本，是任何研究中最重要的决定之一。方法不对就会产生抽样偏差 —— 一种系统性误差，之后再巧妙的统计方法也无法修正。

1. Simple random sampling1. Simple random sampling1. 简单随机抽样

Every member has the same chance of being chosen, like a lottery. In Python: df.sample(n=100). The cleanest method, but it needs a complete list of the population, and by bad luck it can under-represent small groups.

हर सदस्य के चुने जाने का chance बराबर है, lottery की तरह। Python में: df.sample(n=100). सबसे साफ़ तरीका, पर इसके लिए population की पूरी list चाहिए, और बदक़िस्मती से छोटे groups कम आ सकते हैं।

每个成员被选中的机会相同，就像抽奖。Python 中：df.sample(n=100)。最干净的方法，但需要完整的总体名单，而且可能因运气不好而让小群体代表不足。

2. Stratified sampling2. Stratified sampling2. 分层抽样

Split the population into non-overlapping groups (strata) — rural / urban / metro, age groups, states — and draw a random sample inside each one. Every group is guaranteed its fair share, and when the groups differ a lot, estimates become more precise. India's national household surveys use stratified designs for this reason.

Population को बिना overlap वाले groups (strata) में बाँटें — rural / urban / metro, age groups, राज्य — और हर group के अंदर random sample लें। हर group को उसका सही हिस्सा पक्का मिलता है, और जब groups बहुत अलग हों तो अनुमान ज़्यादा सटीक होते हैं। India के national household surveys इसी वजह से stratified design इस्तेमाल करते हैं।

把总体分成互不重叠的组（层） —— 农村 / 城镇 / 大都市、年龄段、各邦 —— 在每一层内部随机抽样。每组都保证得到应有的份额；当各组差异很大时，估计会更精确。印度的全国住户调查正因如此采用分层设计。

3. Cluster sampling3. Cluster sampling3. 整群抽样

Split the population into natural clusters (villages, schools, city blocks), randomly pick some clusters, and survey everyone in them. Much cheaper in the field — 50 villages instead of 5,000 scattered homes. The catch: people in one cluster tend to be similar, so the estimate is less precise than a simple random sample of the same size.

Population को प्राकृतिक clusters (गाँव, schools, city blocks) में बाँटें, कुछ clusters random चुनें, और उनमें सबका survey करें। Field में बहुत सस्ता — बिखरे 5,000 घरों की जगह 50 गाँव। दिक़्क़त: एक cluster के लोग मिलते-जुलते होते हैं, इसलिए अनुमान उतने ही बड़े simple random sample से कम सटीक होता है।

把总体分成自然的群（村庄、学校、街区），随机选出若干群，调查其中的每一个人。实地调查便宜得多 —— 跑 50 个村，而不是 5,000 户分散的人家。缺点是同一群里的人往往相似，所以估计不如同样大小的简单随机样本精确。

4. Systematic sampling4. Systematic sampling4. 系统抽样

Pick a random start, then every k-th item on a list, where k = N / n. To pick 200 patients from a register of 4,000: k = 20, start at a random number from 1 to 20, then take every 20th. Simple and usually as good as random — unless the list has a repeating pattern that lines up with k (for example, every 20th entry is always a Monday-morning emergency).

एक random शुरुआत चुनें, फिर list का हर k-वाँ item, जहाँ k = N / n. 4,000 के register से 200 patients चुनने के लिए: k = 20, 1 से 20 के बीच random संख्या से शुरू करें, फिर हर 20वाँ लें। आसान और आम तौर पर random जितना अच्छा — जब तक list में k से मेल खाता कोई दोहराव वाला pattern न हो (जैसे हर 20वीं entry हमेशा सोमवार सुबह की emergency हो)।

随机选一个起点，然后在名单上每隔 k 个取一个，k = N / n。要从 4,000 人的登记册中选 200 名患者：k = 20，从 1 到 20 之间随机选起点，然后每隔 20 人取一人。简单，通常和随机抽样一样好 —— 除非名单存在与 k 对齐的周期规律（例如每第 20 条总是周一早上的急诊）。

5. Convenience sampling5. Convenience sampling5. 方便抽样

Ask whoever is easiest to reach — your classmates, your social-media followers, shoppers at the nearest mall. Fast and cheap, but almost always biased, and no formula can tell you how biased. Use it only for early pilots or to collect ideas, never for numbers about a wider population.

जो सबसे आसानी से मिले, उससे पूछें — आपके classmates, social media followers, पास के mall के खरीदार। तेज़ और सस्ता, पर लगभग हमेशा biased, और कोई formula नहीं बता सकता कि कितना। इसे सिर्फ़ शुरुआती pilots या ideas जुटाने के लिए इस्तेमाल करें, बड़ी population के बारे में संख्याओं के लिए कभी नहीं।

找最容易接触到的人 —— 同学、社交媒体粉丝、附近商场的顾客。又快又便宜，但几乎总是有偏差，而且没有公式能告诉你偏差有多大。只能用于早期试点或收集想法，绝不能用来得出关于更大总体的数字。

Sampling techniques in PythonPython में sampling techniques用 Python 实现抽样方法

import pandas as pd
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
N = 10_000

# Simulated population: 10,000 workers. Income depends on region.
region = rng.choice(['Rural', 'Urban', 'Metro'], size=N, p=[0.60, 0.30, 0.10])
base = {'Rural': 9.9, 'Urban': 10.5, 'Metro': 11.1}            # log-income centres
income = np.exp([base[r] + rng.normal(0, 0.5) for r in region])

population = pd.DataFrame({'worker_id': range(1, N + 1), 'region': region, 'income': income})

print(f"Population size N = {N:,}")
print(f"TRUE population mean income: ₹{population['income'].mean():,.0f}")
print(population.groupby('region')['income'].mean().round(0))

# ── 1. Simple random sampling ──
srs = population.sample(n=200, random_state=1)
print(f"Simple random  (n=200): ₹{srs['income'].mean():,.0f}")

# ── 2. Stratified sampling (proportional: 60 / 30 / 10 %) ──
sizes = {'Rural': 120, 'Urban': 60, 'Metro': 20}
stratified = pd.concat([population[population['region'] == r].sample(n=k, random_state=1)
                        for r, k in sizes.items()])
print(f"Stratified     (n=200): ₹{stratified['income'].mean():,.0f}")

# ── 3. Systematic sampling ──
k = N // 200                                     # sampling interval = 50
start = np.random.default_rng(1).integers(0, k)  # random start 0..49
systematic = population.iloc[start::k]
print(f"Systematic     (n={len(systematic)}): ₹{systematic['income'].mean():,.0f}   (k = {k}, start = {start})")

One sample from each method lands near the true mean of ₹33,623. To compare methods fairly, repeat each one many times:

हर तरीके का एक sample असली mean ₹33,623 के पास आता है। तरीकों की सही तुलना के लिए हर एक को कई बार दोहराएँ:

每种方法的一个样本都落在真实均值 ₹33,623 附近。要公平比较，需要把每种方法重复很多次：

# Repeat each method 2,000 times: which one lands closer to the truth?
true_mean = population['income'].mean()
groups = {r: g['income'].to_numpy() for r, g in population.groupby('region')}
all_inc = population['income'].to_numpy()
rng2 = np.random.default_rng(7)

srs_means, strat_means = [], []
for _ in range(2000):
    srs_means.append(rng2.choice(all_inc, 200, replace=False).mean())
    parts = [rng2.choice(groups[r], k, replace=False) for r, k in sizes.items()]
    strat_means.append(np.concatenate(parts).mean())

for name, m in [("Simple random", srs_means), ("Stratified", strat_means)]:
    m = np.array(m)
    print(f"{name:<14} average of estimates ₹{m.mean():,.0f}   typical error (SE) ₹{m.std():,.0f}")

Both methods are right on average, but stratified sampling misses by about ₹1,457 typically instead of ₹1,876 — a 22% smaller error for the same 200 people, because incomes differ so much between regions.

दोनों तरीके औसतन सही हैं, पर stratified sampling आम तौर पर ₹1,876 की जगह लगभग ₹1,457 से चूकता है — उन्हीं 200 लोगों के लिए 22% कम ग़लती, क्योंकि regions के बीच income बहुत अलग है।

两种方法平均而言都准确，但分层抽样的典型误差约为 ₹1,457，而不是 ₹1,876 —— 同样 200 人，误差小 22%，因为各地区收入差异很大。

# Convenience sample: survey only the easy-to-reach Metro and Urban workers
easy = population[population['region'] != 'Rural']['income'].to_numpy()
rng3 = np.random.default_rng(3)

big_biased   = rng3.choice(easy, 2000, replace=False).mean()
small_random = rng3.choice(all_inc, 100, replace=False).mean()

print(f"TRUE mean:                         ₹{true_mean:,.0f}")
print(f"Convenience sample, n = 2,000:     ₹{big_biased:,.0f}   (error {big_biased / true_mean - 1:+.0%})")
print(f"Simple random sample, n = 100:     ₹{small_random:,.0f}   (error {small_random / true_mean - 1:+.0%})")

The Sampling Distribution — the Heart of InferenceSampling Distribution — Inference का दिल抽样分布 — 推断的核心

Suppose you want the average monthly salary of all workers in India. You take a random sample of 100 workers and get x̄ = ₹32,500. Another researcher's random sample of 100 gives ₹31,800; a third gives ₹33,100. Every possible sample has its own x̄. The distribution of all these sample means is the sampling distribution of the mean. It tells you how far one sample mean is likely to be from the truth.

मान लें आप India के सभी workers की औसत monthly salary जानना चाहते हैं। आप 100 workers का random sample लेते हैं और x̄ = ₹32,500 पाते हैं। दूसरे researcher का 100 का random sample ₹31,800 देता है; तीसरे का ₹33,100. हर संभव sample का अपना x̄ है। इन सभी sample means का distribution ही sampling distribution of the mean है। यह बताता है कि एक sample mean सच से कितनी दूर हो सकता है।

假设你想知道印度所有劳动者的平均月薪。你随机抽取 100 人，得到 x̄ = ₹32,500。另一位研究者随机抽取的 100 人得到 ₹31,800；第三位得到 ₹33,100。每一个可能的样本都有自己的 x̄。所有这些样本均值的分布，就是均值的抽样分布。它告诉你一个样本均值可能离真相有多远。

The Central Limit Theorem in ActionCentral Limit Theorem का असर中心极限定理实战

The CLT says: whatever the shape of the population (as long as its variance is finite), the sampling distribution of the mean gets closer and closer to normal as n grows. "n ≥ 30" is a popular rule of thumb, but how fast it happens depends on how skewed the population is.

CLT कहता है: population का आकार कुछ भी हो (बस उसका variance सीमित हो), n बढ़ने पर mean का sampling distribution normal के और पास आता जाता है। "n ≥ 30" एक लोकप्रिय अंगूठा-नियम है, पर यह कितनी जल्दी होता है, यह population के skew पर निर्भर है।

中心极限定理说：无论总体是什么形状（只要方差有限），随着 n 增大，均值的抽样分布会越来越接近正态。“n ≥ 30”是流行的经验法则，但收敛多快取决于总体有多偏斜。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
population_data = rng.exponential(scale=5, size=100_000)   # heavily right-skewed
sigma = population_data.std()
print(f"Population mean {population_data.mean():.3f}, SD {sigma:.3f}, skewness {stats.skew(population_data):.2f}")

for n in [2, 10, 30, 100]:
    means = np.array([rng.choice(population_data, size=n, replace=False).mean() for _ in range(10_000)])
    print(f"n = {n:>3} | mean of x̄ = {means.mean():.3f} | SE theory = {sigma / np.sqrt(n):.3f} "
          f"| SE observed = {means.std():.3f} | skewness of x̄ = {stats.skew(means):.2f}")

The simulation confirms the theory: the mean of x̄ stays at 5, the observed SE matches σ/√n, and the skewness of the sample means falls from 1.34 to 0.18 — close to the theoretical 2/√n.

Simulation theory को पक्का करता है: x̄ का mean 5 पर रहता है, observed SE, σ/√n से मेल खाता है, और sample means की skewness 1.34 से गिरकर 0.18 हो जाती है — theory के 2/√n के पास।

模拟验证了理论：x̄ 的均值保持在 5，观测到的 SE 与 σ/√n 吻合，样本均值的偏度从 1.34 降到 0.18 —— 接近理论值 2/√n。

From Sample to Estimate — Standard Error and Confidence IntervalsSample से अनुमान तक — Standard Error और Confidence Intervals从样本到估计 — 标准误与置信区间

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(2)
sample = rng.lognormal(mean=10.5, sigma=0.5, size=100)   # monthly income of 100 workers (₹)

x_bar = sample.mean()
s     = sample.std(ddof=1)
n     = len(sample)
se    = s / np.sqrt(n)                                    # standard error

ci = stats.t.interval(0.95, df=n - 1, loc=x_bar, scale=se)   # t because σ is unknown

print(f"Sample mean x̄:       ₹{x_bar:,.0f}")
print(f"Standard deviation s: ₹{s:,.0f}")
print(f"Standard error SE:    ₹{se:,.0f}")
print(f"95% CI:               ₹{ci[0]:,.0f} to ₹{ci[1]:,.0f}")
print(f"True mean of this population: ₹{np.exp(10.5 + 0.5**2 / 2):,.0f}")

We use the t-distribution because σ is unknown and estimated by s; for large n the t and normal answers are almost the same. Here the interval ₹36,474 – ₹44,462 does contain the true mean of ₹41,151.

हम t-distribution इस्तेमाल करते हैं क्योंकि σ अज्ञात है और s से अनुमानित है; बड़े n पर t और normal के जवाब लगभग एक जैसे हैं। यहाँ interval ₹36,474 – ₹44,462 असली mean ₹41,151 को शामिल करता है।

使用 t 分布是因为 σ 未知、只能用 s 估计；n 较大时 t 与正态的结果几乎相同。这里区间 ₹36,474 – ₹44,462 确实包含了真实均值 ₹41,151。

import numpy as np
from scipy import stats

# What does "95% confidence" mean? Repeat the whole survey 10,000 times.
rng = np.random.default_rng(11)
true_mu = np.exp(10.5 + 0.5**2 / 2)
hits = 0
for _ in range(10_000):
    x = rng.lognormal(10.5, 0.5, 100)
    lo, hi = stats.t.interval(0.95, df=99, loc=x.mean(), scale=x.std(ddof=1) / 10)
    hits += lo <= true_mu <= hi
print(f"Intervals that contained the true mean: {hits / 100:.1f}%")

Key Concepts — Comparison Tableमुख्य Concepts — तुलना Table核心概念 — 对照表

Golden RulesGolden Rules黄金法则