Random Variables Explained: Discrete vs Continuous

Numbers That Carry Uncertainty 🎲अनिश्चितता वाली संख्याएँ 🎲带着不确定性的数字 🎲

You are about to roll a die. You cannot say which face will show, but you know it will be some number. Call that number X. X is not fixed in advance — its value depends on the outcome of a random experiment. That is a random variable.

आप एक die फेंकने वाले हैं। आप नहीं बता सकते कि कौन-सा अंक आएगा, पर इतना पता है कि कोई संख्या आएगी। उस संख्या को X कहें। X पहले से तय नहीं — इसका मान एक random प्रयोग के नतीजे पर निर्भर है। यही random variable है।

你准备掷一颗骰子。你说不准会出现哪一面，但知道一定是某个数。把这个数记作 X。X 事先并不确定 —— 它的值取决于随机试验的结果。这就是随机变量。

Random variables connect probability (sample spaces, events) to real data. Every column you analyse — customer age, transaction amount, exam score, daily rainfall — can be seen as values of a random variable. This tutorial covers what a random variable is, the discrete/continuous split, and the three functions that describe its behaviour: the PMF, PDF and CDF.

Random variables, probability (sample spaces, events) को असली data से जोड़ते हैं। आप जो भी column analyse करते हैं — ग्राहक की उम्र, लेन-देन की राशि, exam score, रोज़ की बारिश — उसे random variable के मानों की तरह देखा जा सकता है। यह tutorial बताता है कि random variable क्या है, discrete/continuous का बँटवारा, और इसके व्यवहार को बताने वाले तीन functions: PMF, PDF और CDF।

随机变量把概率（样本空间、事件）与真实数据连接起来。你分析的每一列 —— 客户年龄、交易金额、考试分数、每日降雨量 —— 都可以看作某个随机变量的取值。本教程介绍随机变量是什么、离散与连续的区别，以及描述其行为的三个函数：PMF、PDF 和 CDF。

What Is a Random Variable? 🔢Random Variable क्या है? 🔢什么是随机变量？🔢

The Story: The Call Centreकहानी: Call Centre故事：呼叫中心

Priya manages a call centre. Each hour she counts the complaints: some hours 0, some 12, now and then 30. She cannot predict the exact number, but she can describe the pattern. She defines X = "number of complaints in an hour". X is a random variable.

Priya एक call centre चलाती है। हर घंटे वह शिकायतें गिनती है: कभी 0, कभी 12, कभी-कभार 30। वह सही संख्या का अनुमान नहीं लगा सकती, पर pattern बता सकती है। वह X = "एक घंटे में शिकायतों की संख्या" तय करती है। X एक random variable है।

Priya 管理一个呼叫中心。她每小时统计投诉数：有时 0，有时 12，偶尔 30。她无法预测确切数字，但能描述规律。她定义 X =“每小时的投诉数”。X 就是一个随机变量。

Her colleague Arjun measures how long each call lasts: 2.3 minutes, 7.81 minutes, 14.002 minutes… Any positive number is possible. He defines Y = "call duration in minutes". Y is also a random variable, but of a different type.

उसका साथी Arjun हर call की अवधि मापता है: 2.3 मिनट, 7.81 मिनट, 14.002 मिनट… कोई भी positive संख्या संभव है। वह Y = "call की अवधि मिनट में" तय करता है। Y भी random variable है, पर अलग प्रकार का।

她的同事 Arjun 记录每通电话的时长：2.3 分钟、7.81 分钟、14.002 分钟……任何正数都可能。他定义 Y =“通话时长（分钟）”。Y 也是随机变量，但类型不同。

Random Variables in Pictures — Understand Before the Maths 📊तस्वीरों में Random Variables — गणित से पहले समझें 📊图解随机变量 — 先理解，再算数 📊

Roll two dice. The sample space has 36 equally likely pairs. The rule "add the two numbers" turns each pair into one number from 2 to 12. Counting how many pairs give each sum gives the PMF directly.

दो dice फेंकें। Sample space में 36 बराबर संभावना वाले जोड़े हैं। नियम "दोनों संख्याएँ जोड़ें" हर जोड़े को 2 से 12 तक की एक संख्या में बदल देता है। हर योग देने वाले जोड़े गिनने से सीधे PMF मिल जाता है।

掷两颗骰子，样本空间有 36 个等可能的有序对。规则“把两个数相加”把每一对变成 2 到 12 之间的一个数。数一数每个和对应几对，就直接得到 PMF。

Discrete vs Continuous — The Core Split ⚖️Discrete बनाम Continuous — मुख्य बँटवारा ⚖️离散 vs 连续 — 核心区分 ⚖️

The first question about any random variable: can you list its possible values, or can it take any value in an interval? The answer decides which formulas, plots and distributions make sense.

किसी भी random variable के बारे में पहला सवाल: क्या आप इसके संभव मानों की सूची बना सकते हैं, या यह interval का कोई भी मान ले सकता है? जवाब तय करता है कि कौन-से formulas, plots और distributions ठीक हैं।

关于任何随机变量的第一个问题：它的可能取值能列举出来吗，还是能取区间内的任意值？答案决定了该用哪些公式、图形和分布。

Probability Mass Function (PMF) 📊Probability Mass Function (PMF) 📊概率质量函数（PMF）📊

The Story: The Quality Inspectorकहानी: Quality Inspector故事：质检员

Ravi checks batches of 3 smartphones. Each phone, independently, has a 20% chance of a defect. X = "number of defective phones in a batch". X can be 0, 1, 2 or 3. The list of probabilities for these four values is the probability mass function.

Ravi 3 smartphones के batches जाँचता है। हर phone में, independently, defect का 20% chance है। X = "batch में ख़राब phones की संख्या"। X 0, 1, 2 या 3 हो सकता है। इन चार मानों की probabilities की सूची probability mass function है।

Ravi 检查每批 3 部智能手机。每部手机独立地有 20% 的概率存在缺陷。X =“一批中的次品数”，可取 0、1、2、3。这四个值的概率清单就是概率质量函数。

More PMF ExamplesPMF के और उदाहरण更多 PMF 例子

Probability Density Function (PDF) 🌊Probability Density Function (PDF) 🌊概率密度函数（PDF）🌊

The Story: Hospital Waiting Timeकहानी: अस्पताल में इंतज़ार故事：医院候诊时间

An emergency room records waiting times: 8.7 minutes, 23.14 minutes, 5.003 minutes… The wait Y can be any non-negative number. The chance that Y is exactly 8.7000… minutes is zero. But the chance that Y is between 10 and 20 minutes is a real, useful number: the area under the density curve between 10 and 20.

एक emergency room इंतज़ार के समय दर्ज करता है: 8.7 मिनट, 23.14 मिनट, 5.003 मिनट… इंतज़ार Y कोई भी non-negative संख्या हो सकता है। Y के ठीक 8.7000… मिनट होने का chance शून्य है। पर Y के 10 और 20 मिनट के बीच होने का chance एक असली, काम की संख्या है: 10 और 20 के बीच density curve के नीचे का area।

急诊室记录候诊时间：8.7 分钟、23.14 分钟、5.003 分钟……等待时间 Y 可以是任意非负数。Y 恰好等于 8.7000… 分钟的概率为零。但 Y 落在 10 到 20 分钟之间的概率是一个真实而有用的数：密度曲线在 10 到 20 之间的面积。

Cumulative Distribution Function (CDF) 📈Cumulative Distribution Function (CDF) 📈累积分布函数（CDF）📈

The Story: The Weather Forecasterकहानी: मौसम विशेषज्ञ故事：天气预报员

A forecaster studying daily rainfall rarely asks "what is the chance of exactly 15 mm?". She asks "what is the chance of at most 15 mm?". "At most" questions are exactly what the cumulative distribution function answers.

रोज़ की बारिश पढ़ने वाली मौसम विशेषज्ञ शायद ही पूछती है "ठीक 15 mm का chance क्या है?"। वह पूछती है "ज़्यादा से ज़्यादा 15 mm का chance क्या है?"। "ज़्यादा से ज़्यादा" वाले सवालों का जवाब ठीक cumulative distribution function देता है।

研究每日降雨的预报员很少问“恰好 15 毫米的概率是多少？”，她会问“至多 15 毫米的概率是多少？”。“至多”类问题正是累积分布函数回答的。

The CDF works for every random variable — discrete, continuous or mixed. It starts at 0, ends at 1 and never goes down. For discrete variables it is a staircase; for continuous ones it is an unbroken curve whose shape depends on the distribution.

CDF हर random variable के लिए काम करती है — discrete, continuous या mixed। यह 0 से शुरू होती है, 1 पर ख़त्म होती है और कभी नीचे नहीं जाती। Discrete variables के लिए यह सीढ़ी है; continuous के लिए एक अटूट curve जिसका आकार distribution पर निर्भर है।

CDF 适用于所有随机变量 —— 离散、连续或混合。它从 0 开始，到 1 结束，从不下降。离散变量的 CDF 是阶梯；连续变量的是一条不间断的曲线，形状取决于分布。

From Histogram to Density 🧱Histogram से Density तक 🧱从直方图到密度 🧱

Where does a PDF come from in practice? Record many call durations, draw a histogram, and scale each bar so its area (not height) is the share of calls in that bin. With more data and narrower bins, the bars settle onto a smooth curve — the density.

व्यवहार में PDF कहाँ से आती है? बहुत सारी calls की अवधि दर्ज करें, histogram बनाएँ, और हर bar को ऐसे scale करें कि उसका area (ऊँचाई नहीं) उस bin में calls का हिस्सा हो। ज़्यादा data और पतले bins के साथ bars एक smooth curve पर टिक जाते हैं — यही density है।

实际中 PDF 从哪里来？记录大量通话时长，画直方图，并缩放每根柱子，使其面积（而非高度）等于该组的通话比例。数据越多、组越窄，柱子就越贴合一条平滑曲线 —— 这就是密度。

PMF vs PDF vs CDF — The Full ComparisonPMF बनाम PDF बनाम CDF — पूरी तुलनाPMF vs PDF vs CDF — 全面比较

Common Discrete Distributions 🎰आम Discrete Distributions 🎰常见离散分布 🎰

Common Continuous Distributions 🌊आम Continuous Distributions 🌊常见连续分布 🌊

Using the CDF — Four Practical Questions 🔧CDF का इस्तेमाल — चार व्यावहारिक सवाल 🔧使用 CDF — 四个实际问题 🔧

Python ImplementationPython ImplementationPython 实现

PMF, CDF, mean and variance with scipy.statsscipy.stats से PMF, CDF, mean और variance用 scipy.stats 计算 PMF、CDF、均值和方差

# 1) PMF, CDF, mean and variance of the defective-phone example
from scipy import stats
X = stats.binom(n=3, p=0.2)
for k in range(4):
    print(f"P(X={k}) = {X.pmf(k):.3f}    F({k}) = P(X<={k}) = {X.cdf(k):.3f}")
print(f"sum of PMF = {sum(X.pmf(k) for k in range(4)):.3f}")
print(f"E[X] = {X.mean():.2f}, Var(X) = {X.var():.2f}, SD = {X.std():.3f}")
print(f"P(X > 1) = 1 - F(1) = {X.sf(1):.3f}")

Zero probability at a point; density above 1एक बिंदु पर शून्य probability; 1 से ऊपर density单点概率为零；密度可大于 1

# 2) Continuous: a point has zero probability, and density can exceed 1
from scipy import stats
bus = stats.uniform(loc=0, scale=10)            # Uniform(0, 10)
print(f"f(3) = {bus.pdf(3):.2f}   (a density, not a probability)")
print(f"P(2 <= Y <= 5) = {bus.cdf(5) - bus.cdf(2):.2f}")
for w in [1, 0.1, 0.001, 0]:
    print(f"P(3 <= Y <= 3+{w}) = {bus.cdf(3 + w) - bus.cdf(3):.4f}")
narrow = stats.uniform(loc=0, scale=0.5)         # Uniform(0, 0.5)
print(f"Uniform(0, 0.5): f(x) = {narrow.pdf(0.2):.1f}, total area = {narrow.cdf(0.5):.1f}")

Normal areas and the 68-95-99.7 ruleNormal areas और 68-95-99.7 नियम正态面积与 68-95-99.7 法则

# 3) Normal heights: areas from the CDF
from scipy import stats
H = stats.norm(loc=165, scale=8)
print(f"P(H > 170)        = {H.sf(170):.3f}")
for k in (1, 2, 3):
    lo, hi = 165 - k * 8, 165 + k * 8
    print(f"P({lo} <= H <= {hi}) = {H.cdf(hi) - H.cdf(lo):.4f}")
print(f"peak density f(165) = {H.pdf(165):.4f} per cm")

Four CDF questions, including the inverse CDFचार CDF सवाल, inverse CDF सहित四个 CDF 问题（含反 CDF）

# 4) Four CDF questions about test scores ~ N(70, 10^2)
from scipy import stats
S = stats.norm(loc=70, scale=10)
print(f"P(X <= 80)       = {S.cdf(80):.4f}")
print(f"P(X > 80)        = {S.sf(80):.4f}")
print(f"P(60 <= X <= 80) = {S.cdf(80) - S.cdf(60):.4f}")
print(f"90th percentile  = {S.ppf(0.90):.2f}")

Simulation vs exact PMF, and Poisson ≈ BinomialSimulation बनाम सटीक PMF, और Poisson ≈ Binomial模拟 vs 精确 PMF，以及泊松 ≈ 二项

# 5) Simulation meets theory: sum of two dice, and Poisson ≈ Binomial
import numpy as np
from collections import Counter
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(1)
sums = rng.integers(1, 7, 100_000) + rng.integers(1, 7, 100_000)
count = Counter(sums)
for s in range(2, 13):
    exact = (6 - abs(s - 7)) / 36
    print(f"sum {s:2d}: simulated {count[s] / 100_000:.4f}   exact {exact:.4f}")
print()
n, p = 1000, 0.003
for k in range(6):
    print(f"k={k}: Binomial {stats.binom.pmf(k, n, p):.4f}   Poisson {stats.poisson.pmf(k, n * p):.4f}")

Random Variables in Data Science & ML 🤖Data Science और ML में Random Variables 🤖数据科学与机器学习中的随机变量 🤖

The Golden Rulesसुनहरे नियम黄金法则